建築や土木構造物の解析において、部材や構造全体が外力を受けると、応力やひずみが発生し、それに伴って変位が生じます。その変位を的確に予測することは、安全で信頼性の高い設計において不可欠な作業です。
一般に、変位を求めるには微分方程式を解いたり、数値解析を行ったりといった複雑なプロセスが必要な場合がありますが、「カスティリアノの定理（Castigliano’s Theorem）」は、エネルギー論に基づく elegant な手法として、非対称な荷重条件や複雑な構造でも変位を容易に算出できる強力なツールとして知られています。
カスティリアノの定理は、ひずみエネルギーを用いて変位を求める方法であり、特に不静定構造問題の解法や、応力解析が複雑なラーメン構造、トラス、フレームなどで便利です。
この記事では、カスティリアノの定理の基本原理、適用上のポイント、他の手法との比較、そしてQ&Aによってその有用性と使い方を明確にします。
カスティリアノの定理の基本原理
カスティリアノの定理は、ひずみエネルギーを基本量として変位を求める定理です。部材に外力が作用すると、内部にひずみエネルギーが蓄えられます。もし、その外力の一つに微小な増分を与えると、この増分が引き起こす追加ひずみエネルギー量は、対応する変位と増分外力の積にほぼ等しくなります。
よって、ある外力に対応する変位は、ひずみエネルギーをその外力で偏微分することで得られる、という考え方がカスティリアノの定理の核心です。
ここで、Uは構造内の全ひずみエネルギーであり、Pは求めたい変位に関連する外力成分です。
この式から、あらかじめひずみエネルギー式が求められれば、その微分をとるだけで変位が計算可能となります。
設計・解析での利用方法
- 不静定構造の解析：
カスティリアノの定理を用いると、外力に対する変位を直接求めることができるため、従来の力法や変形法による煩雑な計算を大幅に簡略化できます。特に不静定度が高い構造でも、エネルギー計算から変位を求めることで問題を単純化できます。 - 特殊荷重条件への対応：
非対称荷重や複雑な曲げモーメント分布を持つ状況でも、ひずみエネルギーを正確に求めれば、カスティリアノの定理により変位をシンプルに評価できます。 - 各種構造形式への適用：
トラス、フレーム、アーチ、板要素など、多種多様な構造要素に対して応用可能です。解析対象を部材毎に分けてひずみエネルギーを積算すれば、複雑なシステム全体の変位が得られます。
他手法との比較表
| 手法 | 特徴 | 適用範囲 | 設計・解析への労力 |
|---|---|---|---|
| カスティリアノの定理 | ひずみエネルギーから変位求める | 不静定構造、複雑荷重 | 中：エネルギー計算必要 |
| マトリクス変位法 | ステップ的な応力・変位算出 | FEMなど一般的手法 | 中～高：初期設定煩雑 |
| 力法・変形法 | 古典的解法、基礎理論 | シンプルな構造向け | 中：不静定度増で複雑化 |
| 有限要素法(FEM) | 数値解法、汎用的 | あらゆる構造、非線形問題 | 高：ソフト・計算資源必要 |
この比較表から、カスティリアノの定理は、FEMほど汎用的ではないが、不静定構造や特殊荷重条件で特化したメリットを発揮できることがわかります。
Q&A
Q1: カスティリアノの定理は非線形解析でも使えますか？
A1: 基本的には線形弾性範囲で適用が簡単です。非線形領域でも理論的には適用可能ですが、ひずみエネルギー式が複雑になり、計算手間が増大します。そのため、非線形問題ではFEMなどと併用することが多いです。
Q2: カスティリアノの定理を使うためには何が必要ですか？
A2: 解析対象のひずみエネルギーを表す式が必要です。部材の応力状態（曲げモーメント、せん断力、軸力）と断面特性、材料物性がわかれば、ひずみエネルギーを求め、それを微分することで変位を求められます。
Q3: 実務でカスティリアノの定理を多用しますか？
A3: 現代ではFEM等が主流ですが、不静定問題や手計算による概略解析、教育現場での概念理解には依然として有効です。簡易モデルで変位を見極める場合など、設計初期段階での検討にも有用です。
まとめ
カスティリアノの定理は、ひずみエネルギーを偏微分することで変位を得るエネルギー論的手法であり、特に不静定構造の挙動把握や特殊な荷重条件への対処において力を発揮します。
現代の大規模非線形解析においてはFEMが主流ですが、カスティリアノの定理による単純化や手計算能力は、初期検討・概算解析・教育的観点からも価値を失っていません。
エネルギー的視点から構造挙動を理解することで、設計判断や解析解釈の精度と柔軟性を高めることが可能となります。