断面一次モーメント(First Moment of Area)は、構造解析や機械設計、土木工学、材料工学といった幅広い分野で用いられる重要な概念です。部材の曲げ剛性や座屈、せん断応力分布などの評価に欠かせない要素であり、特に断面形状の特性把握に役立ちます。
本記事では、断面一次モーメントの基本定義から計算方法、関連する断面特性との違い、具体的な応用例までを体系的に解説し、設計・解析業務に活かせる知識をまとめます。
断面一次モーメントとは
断面一次モーメントは、断面内の任意形状について、その断面を構成する微小面積要素が特定軸から受ける「てこ」の効果を総合的に示す値です。
簡単に言えば、ある基準軸(中立軸や任意の参照軸)に対して面積要素が「どれだけ離れているか」を総合的に評価したもので、断面形状の偏りを数量化した指標と言えます。
基本式と記号の定義
以下に、x軸に対する断面一次モーメントSxを示します。断面をAとし、yを断面上の微小面積要素dAのy座標とします。
\[ S_x = \int_A y \, dA \] \begin{array}{ll} \text{where:} & \\ S_x & : \text{ x軸に関する断面一次モーメント} \\ y & : \text{ 微小面積要素のx軸からの距離} \\ dA & : \text{ 微小面積要素} \\ \end{array}同様に、\(y\)軸に関する断面一次モーメント\(S_y\)は、
$$ S_y = \int_A x \, dA $$
で定義されます。
断面一次モーメントと断面二次モーメントとの違い
しばしば混同されるのが「断面二次モーメント(Second Moment of Area)」です。断面二次モーメントは、曲げ剛性の評価やたわみ計算に不可欠な指標で、面積要素と軸との距離を2乗して積分します。
一方、一次モーメントは距離を1乗(線形)で評価します。
これにより、一次モーメントは主に断面の重心位置の決定やせん断応力分布計算など、主として形状の「平均的な重み付け位置」を把握するのに用いられます。
断面一次モーメントの用途例
- 断面重心(形心)の算定：
形状の重心位置は、一次モーメントを用いて求められます。重心を求めるには、対象断面を軸方向に分解し、一次モーメントと総面積から重心座標が決定できます。 - せん断応力分布の計算：
部材にせん断力が作用する場合、その内部のせん断応力分布を評価するには断面一次モーメントが必要です。せん断応力τは、以下のような式で与えられます。
ここで、Sxは応力分布を求める上で欠かせないファクターとなります。
座屈解析や塑性設計への応用：
一次モーメントは断面形状が軸方向にどう分布しているかを把握する指標です。そのため、座屈解析時の局部座屈挙動評価や塑性化設計における応力再配分評価の補助的資料として利用可能です。
代表的な断面形状における一次モーメントの比較表
| 断面形状 | x軸に関する一次モーメント $S_x$ (一例) | 特徴 |
|---|---|---|
| 長方形断面(B×H) | $S_x = \frac{B H^2}{2}$ | 重心は中央、計算容易 |
| 円形断面(D) | $S_x = \frac{\pi D^3}{8}$(x軸を断面中央通過) | 対称性高、重心は中心 |
| 等辺L形断面 | 個別分割し合算が必要 | 非対称で重心位置ズレ大 |
| I形断面 | フランジとウェブを分割し合算 | 構造材で頻用、重心は中央軸近く |
※上表はあくまで概念的な例であり、厳密には形状・軸定義により異なります。
設計・解析への活用上のポイント
- 対称性の有効活用：対称断面では重心が中央軸上に来るため、一次モーメントの計算は簡易化できます。
- 分割・合成のテクニック：複雑な断面は基本図形に分割し、その一次モーメントを合算する手法が有効です。
- 計算手順の確立：標準化した計算式や表を活用し、効率的に必要な断面特性を導き出せます。
Q&Aコーナー
Q1: なぜ断面一次モーメントがせん断応力計算に必要なのですか？
A1: せん断応力分布を計算する式では、断面内部の面積要素の「位置的な重み付け」が必要で、それが一次モーメントで表現されます。断面内部の応力分布を正確に把握するためには、単純な面積だけでなく、面積がどの位置にあるか(距離)を反映する一次モーメントが不可欠です。
Q2: 一次モーメントと二次モーメントを混同しないためには？
A2: 一次モーメントは「面積×距離」、二次モーメントは「面積×距離²」と理解しましょう。二次モーメントはたわみや曲げ剛性に直結し、一次モーメントは重心位置やせん断応力計算など「位置的分布」を扱う際に重要です。
まとめ
断面一次モーメントは、重心位置の算定やせん断応力分布の評価など、断面特性を定量的に把握する上で非常に重要なパラメータです。
二次モーメントとの違いを明確に理解し、断面形状が複雑な場合には基本形状への分解と合成で対応できます。
解析や設計においてこの知識を活用することで、より正確な構造特性評価が可能となります。