固定-固定支点梁における中央集中荷重の最大曲げモーメントの導出方法

固定単梁に中央集中荷重 Pが作用する場合の最大曲げモーメントを、簡易解法と弾性曲線方程式の2つのアプローチを用いて解説します。

この問題は構造設計の基本的な解析モデルであり、計算プロセスを通じて重要な力学特性を学ぶことができます。

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1. 簡易解法

固定端梁の最大曲げモーメントは、以下の公式を用いて容易に計算できます。

固定端梁における最大曲げモーメントは次の式で表されます：

\[ M_{\text{max}} = \frac{P L}{8} \]

反力の計算
固定端では左右の支点反力は次のように計算されます：

\[ R_A = R_B = \frac{P}{2} \]
中央での曲げモーメント
最大曲げモーメントは梁の中央で発生し、その値は次のように計算されます：

\[ M_{\text{max}} = R_A \cdot \frac{L}{2} = \frac{P}{2} \cdot \frac{L}{4} = \frac{P L}{8} \]

次に、弾性曲線方程式を用いて最大曲げモーメントを求める方法を説明します。

梁のたわみを記述する基本式は以下のようになります：

\[ EI \frac{d^2 y}{dx^2} = M(x) \]

ここで、

荷重点 \( x = L/2 \) における曲げモーメントを計算します。

反力 \( R_A = P/2 \) を用いると：

\[ M(x) = R_A x = \frac{P}{2} x \]

右支点反力 \( R_B = P/2 \) を用いると：

\[ M(x) = R_B (L – x) = \frac{P}{2} (L – x) \]

中央（\( x = L/2 \)）における曲げモーメントを計算します。

\[ M_{\text{max}} = M\left(\frac{L}{2}\right) = \frac{P}{2} \cdot \frac{L}{2} = \frac{P L}{8} \]

以下に2つの解法の比較を示します。

解法	特徴	結果
簡易解法	公式を直接適用して簡単に計算できる	\( M_{\text{max}} = \frac{P L}{8} \)
弾性曲線方程式	理論に基づき詳細な解析が可能	\( M_{\text{max}} = \frac{P L}{8} \)

固定端梁における中央集中荷重 \( P \) による最大曲げモーメントは以下の通りです：

\[ M_{\text{max}} = \frac{P L}{8} \]

この結果は、建築物や橋梁設計など、構造設計の基本的な知識として役立ちます。