単純支持梁（Simply Supported Beam）に全長一様分布荷重 wが作用する場合の最大曲げモーメントを、簡易解法と弾性曲線方程式の2つのアプローチを用いて解説します。
1. 簡易解法
一様分布荷重を受ける単純支持梁の最大曲げモーメントは、公式を用いることで簡単に求められます。
公式
最大曲げモーメントは次の式で表されます：
\[ M_{\text{max}} = \frac{w L^2}{8} \]
計算プロセス
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反力の計算
左右の支点反力は対称性を利用して以下のように計算されます：
\[ R_A = R_B = \frac{w L}{2} \]
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中央での曲げモーメント
最大曲げモーメントは梁の中央で発生し、以下のように計算されます：
\[ M_{\text{max}} = R_A \cdot \frac{L}{2} – \frac{w \cdot \left(\frac{L}{2}\right)^2}{2} \]
ここで、式を展開すると：
\[ M_{\text{max}} = \frac{w L}{2} \cdot \frac{L}{2} – \frac{w}{2} \cdot \frac{L^2}{4} \]
\[ M_{\text{max}} = \frac{w L^2}{4} – \frac{w L^2}{8} = \frac{w L^2}{8} \]
2. 弾性曲線方程式を用いた導出
次に、弾性曲線方程式を用いて最大曲げモーメントを求める方法を解説します。
2.1 弾性曲線方程式の定義
梁のたわみを記述する基本式は以下の通りです：
\[ EI \frac{d^2 y}{dx^2} = M(x) \]
ここで、
- \( EI \)：梁の曲げ剛性
- \( M(x) \)：位置 \( x \) における曲げモーメント
- \( y(x) \)：梁のたわみ
2.2 曲げモーメントの式
一様分布荷重 \( w \) を受ける梁の曲げモーメント \( M(x) \) は以下のように位置 \( x \) に応じて定義されます。
(1) 左側の曲げモーメント（\( 0 \leq x \leq L/2 \)）
反力 \( R_A = \frac{w L}{2} \) を用いると：
\[ M(x) = R_A x – \frac{w x^2}{2} = \frac{w L}{2} x – \frac{w x^2}{2} \]
(2) 中央での最大曲げモーメント
中央（\( x = L/2 \)）における曲げモーメントを計算します：
\[ M\left(\frac{L}{2}\right) = \frac{w L}{2} \cdot \frac{L}{2} – \frac{w}{2} \cdot \left(\frac{L}{2}\right)^2 \]
式を展開すると：
\[ M\left(\frac{L}{2}\right) = \frac{w L^2}{4} – \frac{w L^2}{8} = \frac{w L^2}{8} \]
3. 比較：簡易解法と弾性曲線方程式
以下に2つの解法の比較を示します。
| 解法 | 特徴 | 結果 |
|---|---|---|
| 簡易解法 | 公式を直接適用して簡単に計算できる | \( M_{\text{max}} = \frac{w L^2}{8} \) |
| 弾性曲線方程式 | 理論に基づき詳細な解析が可能 | \( M_{\text{max}} = \frac{w L^2}{8} \) |
4. 結果まとめ
単純支持梁における一様分布荷重 \( w \) による最大曲げモーメントは以下の通りです：
\[ M_{\text{max}} = \frac{w L^2}{8} \]
この結果は、構造設計の基本として、梁の耐荷力や安全性を評価する際に役立ちます。
